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Coronavirus: Warum exponentielle Ausbreitungsszenarien so schwer zu fassen sind

COVID-19. © Alissa Eckert, MS; Dan Higgins, MAM
COVID-19. © Alissa Eckert, MS; Dan Higgins, MAM

Kein Tag vergeht, ohne neue Meldungen zum Coronavirus – derzeit noch mehrheitlich negativer Natur. Der Virus breitet sich weiter aus, in Italien und vielen anderen Staaten sterben hunderte Menschen und im Netz streiten die Menschen darüber, wie groß die Ausbreitung werden kann. Gerade die letzte Frage wird häufig diskutiert – und immer wieder mit exponentiellem Wachstum zu erklären versucht. Eine Analyse.

Coronavirus mit exponentiellem Wachstum

„Die größte Schwäche der Menschheit ist ihre Unfähigkeit, die Exponentialfunktion zu verstehen“, hat der Physiker Al Bartlett in seinem Buch „The Essential Exponential!” geschrieben. In der aktuellen Debatte geht es darum, wie schnell sich das Coronavirus ausbreiten kann und wie viele Menschen es in wenigen Tagen/Wochen/Monaten betreffen könnte. 

Zuerst zur Begrifflichkeit: Mathematiker beschreiben das exponentielle Wachstum mit sogenannten Exponentialfunktionen. Unter einem exponentiellen Wachstum versteht man gemeinhin ein mathematisches Modell, dass einen Wachstumsprozess abbildet, der sich in gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert. 

Wir geben drei Beispiele:

Beispiel 1: Reiskörner am Schachbrett

Der Legende zufolge schuf der „weise Brahmane Sissa ein Spiel, in dem der König als wichtigste Figur ohne Hilfe anderer Figuren und Bauern nichts ausrichten kann“. Dabei handelte es sich – richtig vermutet – um das Schachspiel. Dem damals herrschenden König, einem Tyrannen, gefiel das Spiel, weshalb er dem Erfinder einen Wunsch gewährte.

Der wollte Reiskörner – aber in einer bestimmten Anzahl: Auf das erste Feld des Schachbretts sollte ein Korn kommen, auf das zweite doppelt so viele wie am ersten Feld, auf dem dritten Feld doppelt so viele Körner wie am zweiten Feld und so weiter.

Nachgerechnet? Nimmt man ein klassisches Schachbrett zur Hand, hat dieses 64 Felder. Die Rechnung lautet demnach also 2^64-1. Die ausgeschriebene Zahl sparen wir uns, es sind aber in etwa 19 Trillionen Reiskörner – und damit mehr, als der Herrscher im ganzen Reich besaß.

Beispiel 2: Mit Riesenschritten um die Welt

30 Schritte – wie viel ist das? Einmal quer durch das Büro vielleicht oder einmal von der Couch ins Bett mit einem Abstecher in Richtung Badezimmer. Stell dir nun aber mal vor, du addierst diese 30 Schritte nicht einfach, sondern die Schrittlänge verdoppelt sich nach jedem Schritt. Das heißt, Schritt 1 schafft einen Meter, Schritt 2 dann zwei Meter, Schritt 3 vier Meter und so weiter.

30 Schritte sind dann nicht mehr nur der Weg ins Bett, sondern – bei erwähntem exponentiellen Wachstum – etwa 30 Umrundungen des Planeten.

Beispiel 3: Papierstapel bis zur Sonne

Ein Mythos, der wohl in jeder Schulklasse diskutiert wurde: Ein Blatt Papier lässt sich nicht öfter falten als maximal acht Mal. Wer es schafft, das Blatt tatsächlich so oft an der Mitte zu falten, erhält einen deutlich über einen Zentimeter hohen „Turm“ (wir haben das ausprobiert). Nur: Wie hoch wird der „Turm“, also das gefaltete Papier wohl sein, wenn es 30 „Faltvorgänge“ gibt?

Die Antwort: Etwa 100 Kilometer. Die eigene Schätzung war deutlich darunter? Das verwundert nicht, exponentielles Wachstum ist für das menschliche Gehirn eben nur schwer fassbar. Das Resultat stimmt aber fraglos: ein Papier ist zu Beginn etwa 0,01 Millimeter dick und wächst mit jedem Faltvorgang in der Dicke um das Doppelte. Zehn Faltungen – und das Papier ist bereits etwa zehn Zentimeter dick. Beim fünfundzwanzigsten Faltvorgang erreicht es in etwa eine Höhe von 3,2 Kilometern, bei dreißig Faltungen eben 100 Kilometer.

Ein ähnliches Beispiel stapelt ein zerrissenes Papierblatt. Das heißt, das Original zerreißen, die beiden gleichen Seiten aufeinander legen und wieder zerreißen und stapeln. Und wieder, und wieder, und wieder. Wie lange geht das gut? Nicht allzu lange, schon bei der 50. Wiederholung würde sich ein Stapel von der Erde fast bis zur Sonne auftürmen.

Was hat das mit dem Coronavirus zu tun?

Mediziner setzen auf dieses Modell, um berechnen zu können, wie sich ein Virus verbreiten wird. Ein weiteres Beispiel: Beim großen Ebola-Ausbruch 2014 verdoppelte sich die Zahl der Infizierten alle drei Wochen, schrieb damals die “Welt”. Das Problem: Wächst etwas (in diesem Fall ein Virus bzw. dessen Verbreitung) exponentiell – und nicht mehr linear -, ist die Kontrolle in der Regel schon verloren.

+++Corona Detector: “Der beste Case ist, wenn man das Tool nicht mehr braucht”+++

Die Anzahl der Coronavirus-Fälle hat sich in Österreich zuletzt innerhalb von vier Tagen verdoppelt. Gehen wir Stand heute von 112 Infizierten in Österreich aus, müssten es kommenden Montag etwa 377 infizierte Personen sein. Wieder eine Woche später (am 23. März) wäre dann theoretisch bereits die Tausender-Schallmauer geknackt und Ende des Monats hätten wir über 4.100 an Covid-19 erkrankte Personen. Das natürlich immer vorausgesetzt, das exponentielle Wachstum wird nicht unterbrochen. 

Verbreitung: Nicht alle Zahlen valide

Erwähnt werden muss hier allerdings, dass wir nur die “Doubling Time” von bekannten Fällen wissen. Das heißt, der nicht bekannte Graubereich (weil die Infektion nur sehr schwach ausbricht oder der Patient sich nicht meldet) könnte die Zahlen deutlich verändern. Derzeit liegt die die Doubling Time weltweit (inklusive China) bei 20 Tagen, bei der Berechnung ohne China weltweit bei etwa vier Tagen. Die Tatsache, dass die Verdopplungszeit länger ist, wenn China einbezogen wird, ist damit erklärt, dass die Zahl der täglichen Fälle nach der Abriegelung in China zurückgegangen ist.

Coronavirus: Das Problem mit der Impfung

Das Problem mit dem Sars-CoV-2 ist nun, dass es a) eben keine genauen Zahlen zur Verdopplungszeit gibt und b) niemand wirklich fassen kann, was das exponentielle Wachstum bedeuten könnte. Darum ist, auch wenn es sich in den Augen vieler Menschen auch bei Covid-19 „nur“ um eine Grippe handelt, besondere Vorsicht geboten. Während für die Grippe nämlich eine gewisse „Grundimmunität“ vorherrscht, einfach deswegen, weil genügend Menschen geimpft und damit “sicher” sind, gilt das für den Coronavirus nicht.

Das heißt: Bei einem  exponentiellem Wachstum wachsen theoretisch 500 Fälle nach 11 Verdoppelungen auf mehr als eine Million Fälle an. Nach zehn weiteren Verdoppelungen wären es bereits eine Milliarde Fälle. Eine wirksame Unterbrechung gibt es ja noch nicht.

+++Coronavirus: Interaktive Map zeigt Verbreitung+++

Wichtig: Natürlich heißt das jetzt nicht, dass diese Zahlen auch nur annähernd realistisch sind. Panik ist also auch weiterhin nicht angebracht. Die theoretische Rechnung zeigt aber sehr gut, dass exponentielles Wachstum sehr schnell zu sehr großen Zahlen führen kann, selbst wenn man von einer niedrigen Basis ausgeht.

Die größte Schwäche der Menschheit…

Noch einmal: Grund für Panik sind alle diese Zahlenspielereien trotzdem nicht. Nachdem wir weder die genauen Infektionszahlen kennen und es noch eine größere Grauzone gibt, ist es kaum möglich, valide Ausblicke zu erstellen. Mit der Berechnung des exponentiellen Wachstums versuchen Forscher aber immerhin, einen groben Rahmen zu schaffen. Im Falle des Coronavirus ergibt sich dafür aber das einleitende Problem: Die Menschheit kann das Ausmaß des “pandemischen Potenzials” (das übrigens auch die WHO dem Virus bescheinigt) schlichtweg nicht fassen. Und was der Mensch nicht fassen kann, das macht ihm meist Angst – oder lässt ihn irrational werden.

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